यह लेख यह पता लगाने वाला है कि क्या है ऑर्थोनॉर्मल आधार एक मैट्रिक्स का और इसका उपयोग करके MATLAB में उन्हें कैसे खोजें ऑर्थ() समारोह।
मैट्रिक्स के ऑर्थोनॉर्मल आधार क्या हैं?
रैखिक बीजगणित में, ऑर्थोनॉर्मल आधार एक सदिश समष्टि V का एक परिमित आयाम होना आधार है ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर जहां ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर यूनिट वेक्टर हैं जो एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं यानी उनका डॉट उत्पाद शून्य है।
दो-इकाई वैक्टर x और y पर विचार करें, यदि वे एक-दूसरे के लिए ओर्थोगोनल होंगे “x.y=0” . इन दोनों को वेक्टर भी कहा जाता है ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर .
हमें ऑर्थोनॉर्मल आधार की गणना करने की आवश्यकता क्यों है?
एक अलौकिक आधार एक वेक्टर का दूसरे वेक्टर पर प्रक्षेपण ज्ञात करने या दो वैक्टरों के बीच की दूरी ज्ञात करने के संदर्भ में उपयोगी है। हम एक का भी उपयोग कर सकते हैं ऑर्थोनॉर्मल आधार हमारे सिमुलेशन में राउंड-ऑफ त्रुटि को कम करने के लिए और इसका एकमात्र कारण यह है कि ऑर्थोनॉर्मल आधार पर वेक्टर एक-दूसरे से स्वतंत्र होते हैं, इस प्रकार एक वेक्टर में त्रुटि अन्य वैक्टर में फैल नहीं सकती है। इसके अलावा, यदि हमारा आधार ऑर्थोनॉर्मल है तो निर्देशांक ढूंढना और रैखिक परिवर्तन करना बहुत आसान है।
MATLAB में मैट्रिक्स का ऑर्थोनॉर्मल आधार कैसे खोजें?
MATLAB में, हम पा सकते हैं ऑर्थोनॉर्मल आधार अंतर्निर्मित का उपयोग करना ऑर्थ() वह कार्य जो निर्धारित करने के लिए जिम्मेदार है ऑर्थोनॉर्मल आधार किसी दिए गए मैट्रिक्स का. यह फ़ंक्शन एक मैट्रिक्स को एक अनिवार्य पैरामीटर के रूप में स्वीकार करता है और आउटपुट के रूप में एक मैट्रिक्स प्रदान करता है ऑर्थोनॉर्मल आधार दिए गए इनपुट मैट्रिक्स का.
वाक्य - विन्यास
ऑर्थ() फ़ंक्शन को निम्नलिखित सिंटैक्स के माध्यम से MATLAB में कार्यान्वित किया जा सकता है:
क्यू = ऑर्थ ( ए,टोल )
यहाँ,
- कार्यक्रम क्यू = ऑर्थ(ए) के निर्धारण हेतु उत्तरदायी है ऑर्थोनॉर्मल आधार ए की सीमा के लिए जहां आउटपुट मैट्रिक्स क्यू के कॉलम प्रतिनिधित्व करते हैं ऑर्थोनॉर्मल आधार मैट्रिक्स ए का और वे मैट्रिक्स ए की सीमा को स्पैम करते हैं। साथ ही, ए की रैंक क्यू के कॉलम की गिनती के बराबर होती है।
- कार्यक्रम क्यू = ऑर्थ (ए,टोल) के निर्धारण के लिए उत्तरदायी है ऑर्थोनॉर्मल आधार सहिष्णुता को निर्दिष्ट करने वाली ए की सीमा के लिए। इनपुट मैट्रिक्स ए के एकवचन मान, जो सहनशीलता से कम हैं, क्यू के स्तंभों की संख्या को प्रभावित करके शून्य माना जाता है।
उदाहरण 1: MATLAB में पूर्ण रैंक मैट्रिक्स का ऑर्थोनॉर्मल आधार कैसे खोजें?
यह MATLAB कोड निर्धारित करता है ऑर्थोनॉर्मल आधार दिए गए वर्ग मैट्रिक्स A का आकार n=3 का उपयोग करके ऑर्थ() समारोह। यह कोड का उपयोग करके मैट्रिक्स ए की रैंक भी ढूंढता है पद() यह सत्यापित करने के लिए फ़ंक्शन कि इनपुट मैट्रिक्स पूर्ण रैंक है।
ए = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;आर = रैंक ( ए )
क्यू = ऑर्थ ( ए )
उदाहरण 2: MATLAB में रैंक डेफ़िसिएंट मैट्रिक्स के ऑर्थोनॉर्मल आधार की गणना कैसे करें?
इस उदाहरण में, हम इसका उपयोग करते हैं ऑर्थ() खोजने के लिए कार्य करें ऑर्थोनॉर्मल आधार दिए गए रैंक-कमी वाले मैट्रिक्स ए का। मैट्रिक्स ए की रैंक की कमी है क्योंकि रैंक(के)<आकार(ए) .
ए = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 0 0 ] ;आर = रैंक ( ए )
क्यू = ऑर्थ ( ए )
उदाहरण 3: MATLAB में सहिष्णुता निर्दिष्ट करके पूर्ण रैंक मैट्रिक्स का ऑर्थोनॉर्मल आधार कैसे खोजें?
दिया गया उदाहरण गणना करता है ऑर्थोनॉर्मल आधार दिए गए पूर्ण-रैंक वर्ग मैट्रिक्स ए का आकार है एन=3 का उपयोग ऑर्थ() डिफ़ॉल्ट सहनशीलता के साथ कार्य करें। चूँकि A एक पूर्ण रैंक मैट्रिक्स है, A और Q का आकार (ऑर्थोगोनल आधार) वही है, जो इस मामले में 3×3 है। उदाहरण तब गणना करता है ऑर्थोनॉर्मल आधार सहिष्णुता का मान 0.5 निर्दिष्ट करके ए के उन मानों पर विचार करें जो 0.5 से कम हैं, एकवचन मान के रूप में। ए में तीन एकवचन मान हैं, इसलिए ए में दो ऑर्थोनॉर्मल कॉलम वेक्टर हैं जैसा कि इसमें निहित है क्यूटोल आव्यूह।
ए = रैंड ( 3 ) ;आर = रैंक ( ए )
क्यू = ऑर्थ ( ए )
Q_tol = ऑर्थ ( ए, 0.5 )
निष्कर्ष
ढूँढना ऑर्थोनॉर्मल आधार सदिश समष्टि रैखिक बीजगणित की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो एक जटिल गणितीय समस्या है। हालाँकि, MATLAB के बिल्ट-इन का उपयोग करके इसे आसानी से और कुशलता से हल किया जा सकता है ऑर्थ() समारोह। इस आलेख में विभिन्न सिंटैक्स और उदाहरणों का उपयोग करके इस फ़ंक्शन के कार्यान्वयन को प्रस्तुत किया गया है।